La quartique de Klein carrelée par des heptagones

Une maquette de la quartique de Klein. Cet objet fascinant l'est en même temps :

• une surface hyperbolique composée de 24 heptagones réguliers, dont trois se rencontrent à chaque sommet (ou en double : par 56 triangles équilatéraux, dont sept autour de chaque sommet) ;

• la surface avec l'équation x³ y + y³ z + z³ x = 1, qui a le plus grand groupe d'automorphisme possible pour une surface de genre 3 (c'est le groupe simple avec l'ordre 168) ;

• la courbe modulaire X(7), qui est le quotient du demi-plan de Poincaré par le groupe de matrices ≡ 1 (mod 7) ; chaque point de cette courbe définit une courbe elliptique à torsion 7 marquée.

Dans ce modèle, chaque heptagone est étiqueté par une fraction, selon l'arbre de Stern-Brocot (modulo 7).